多角形からの円周率

円周率の算出方法として内接する多角形の一辺の長さの合計から割り出す方法があります。

基本から考えると、こんな感じかな。
まず円に内接する多角形を考える。この多角形は中心を頂点とするn個の二等辺三角形に分割でき、底辺の長さの合計が円周に近似される。
さて角数をnとすると、各三角形の頂角θは

であり、各三角形の底角θ1は

頂点から底辺の中央に向けて垂線を引くと、底辺の1/2の点で交わるので、円の半径をrとすれば、底辺の1/2の長さr1は

となるので、n角形の辺の長さの合計Rは

と表される。
元の円の半径rを0.5とすれば、
となる。

例えば、4角形ならば4cos(90-180/4)=2.828…、5角形なら5cos(90-180/5)=2.938…
120角形ならば、120cos(90-180/120)=3.141233…
といった具合。

つまり、

とまぁ、Texを使えば数式をそれらしく書けるのが嬉しくて下らないことをだらだら書きました。

現代では三角関数が使えるので、それこそ電卓でも持ち出せば1000角形だろうが一瞬で計算OKと。それでは意味はないので、幾何的に処理することを考えないと。
幾何的に処理となると、三平方の定理を使ってやればいいのかな? ちょっと図を書いて考えてみよう。




「多角形からの円周率」への4件のフィードバック

  1. こんにちは
    やはり円周率の計算は多角形から入るのが順当でしょうか。
    わたしはまだやったことありませんが、和算数なども多角形からやり出していますね。
    ネットでHP電卓を使って円周率を求めているのがあったので参考にして作って見ました。
    306桁を54秒で計算できました。
    丸まねなので答えは出ましたが、その過程が全然わからず今思案中です。見てください。

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    1. たかいさんこんにちは。ちょっとした思考実験です。実用性は限りなく低いと思います。ただ三角関数を知らない時代に(もちろん関数表なんてアンチョコも無い時代)にどうやって多角形計算をしていったのか興味がありますよね。
      関孝和氏は233角形から計算したとか。何か一般化する方法が有るのでしょうけど、233って10桁の数字なので手だと大変だなと。ただ2のべき乗ってところに考え方のヒントがあるのかもしれません。

      返信

  2. こんにちは
    円周率のプログラムの内容はまだわかりませんが、５８２桁まで計算できました。
    少しづつわかりかけています。

    返信

    1. 電卓のメモリーってそれほどないのにすごいですね。昔とある高校の文化祭の出し物用に円周率を吐き出すプログラムを組もうとしたことが有ります。もちろんインチキソフトで中身はすでに分かっている円周率そのものなんですが、メモリーに入りきらずにボツになった思い出がよみがえりました。

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